Bánh chưng, bánh dày và số Pi

Bánh chưng, bánh dày và số Pi

Cả Lang Liêu và vùa Hùng ngày xưa, và nhiều người trong chúng ta ngày nay chưa biết rằng hình tròn của bánh dày và hình vuông của bánh chưng liên quan đến một bài toán nhức óc nhiều nhà toán học.

Chàng Lang Liêu ngày xưa hẳn không thể biết rằng trong các thứ lúa gạo đã ra đời, có hai thứ lúa gạo khác nhau. Một loại là gạo tẻ mà ta ăn hằng ngày, có tên khoa học là Oryza sativa. Một loại là gạo nếp, có tên là Oryza glutinosa. Hai loài này không thể lai chéo được với nhau. Mặc dù hai loại gạo đều có thành phần chủ yếu là tinh bột và công thức chung là (C5H10O5)n, nhưng mọi trị số n của mỗi loại tinh bột khác nhau nên tinh bột của gạo nếp dễ bị phân hủy hơn, cho ra một chất dính. Chính chất dính này đã tạo điều kiện làm nên chất dẻo của bánh chưng và bánh dày. 

Nhờ được bao bọc bởi nhiều lá (lá dong) và nấu kỹ trong một thời gian dài nên chiếc bánh chưng là một gói kín được tiệt trùng, có thể tự bảo vệ trong một thời gian dài. Còn chiếc bánh dày tự bảo vệ bằng chất dẻo của chính mình. Vỏ bánh có thể khô cứng nhưng ruột bánh vẫn được giữ nguyên. Khi sử dụng, người ta cắt bỏ lớp khô cứng, nướng phồng lên là ăn được. Trong kháng chiến chống Pháp, những chiếc bánh dày, bánh chưng được gửi từ hậu phương ra tiền tuyến cho các chiến sĩ, vừa là một thứ lương khô, vừa là một thứ quà đậm đà hương vị quê hương và tình quân dân cá nước.

Xây dựng nên hình tượng Trời, Đất qua hình tròn và hình vuông, có lẽ ông cha ta đã xuất phát từ những quan sát thực tế tự nhiên. Mặt Trời và Mặt Trăng là những hình tròn tuyệt đẹp. Bầu trời với đường chân trời xem như một vòm hình tròn. Còn đất vuông là hình tượng bắt nguồn từ những thửa ruộng chia ô. Và cũng từ hình tượng đó mà người Trung Hoa xưa đã viết ra chữ “điền” (….). Chiếc bánh chưng với hai chiếc lạt chính là chữ “điền” tượng trưng của Đất.

Cũng ngay từ thời xưa, người ta cũng đã nhận thấy hình vuông và hình tròn là những hình đơn giản nhưng cân đối và đẹp nhất. Người thợ thủ công xưa chỉ cần một sợi dây, một cái cọc là vẽ ra được đường tròn của một cái giếng. Trống đồng hay cái chiêng cũng được tạo ra như vậy. Còn hình vuông thì chỉ cần gấp một sợi tre hoặc đóng gỗ thành bốn đoạn bằng nhau, rồi dựng sao cho vuông một góc là thành hình vuông. Thế nhưng cả Lang Liêu thời vua Hùng và nhiều người chúng ta ngày hôm nay còn chưa biết rằng, cái hình tròn và hình vuông ấy lại liên quan đến một bài toán đã làm nhức óc nhiều nhà toán học trong nhiều thế kỷ.

Bài toán cầu phương hình tròn?

“Cầu phương hình tròn” là một bài toán, theo đó, bằng cách nào có thể dựng được một hình vuông có diện tích đúng bằng diện tích hình tròn cho trước chỉ bằng compa và thước kẻ!

Ta đều biết, diện tích hình vuông có cạnh a sẽ là a2. Còn diện tích hình tròn có bán kính R sẽ là pR2.

Ở đây xuất hiện con số Pi (II) mà theo định nghĩa là tỉ số giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó. Từ xa xưa, người ta đã nhận thấy tỉ số này nhỉnh hơn 3 một chút và ngày nay, học sinh thường dùng trị số 3,1416. Người thợ mộc, thợ rừng xưa chỉ cần lấy một sợi dây, đánh vòng quanh thân cây hoặc một cái cột rồi chia làm 3 là có được trị số gần đúng của đường kính của cái cây hay cái cột. Thế nhưng, trị số đúng của số đó (Pi) là bao nhiều?

Suốt hơn 2000 năm khoa học vẫn còn đang tính tiếp những con số lẻ của nó. Đó là vì trước hết số Pi gồm một dãy số lẻ dài vô tận và không tuần hoàn. Một tỉ số như 1/3 cũng cho ta thấy một dãy số lẻ đến vô hạn nhưng tuần hoàn với một dẫy số 3 liên tiếp:

1/3= 0, 33333333333333 (……) 333……..

Tỷ số 1/7 cho ta thấy rõ nét hơn một chút chu kỳ tuần hoàn gồm 6 con số khác nhau: 1/7= 0, 142857 142857 142857….

Nhưng số Pi là một dãy số lẻ vô hạn và không tuần hoàn. Sau đây là trị số của Pi với 25 số lẻ đầu tiên:

Pi= 3, 14159 26535 89793 23846 26344…

Pi - con số siêu việt

Người ta có thể hỏi, trên đây mới chỉ là một ít số lẻ của Pi, làm sao có thể biết rằng ở chuỗi số lẻ tiếp theo lại không thể đến một lúc nào đó sẽ gặp một chu kỳ tuần hoàn? Năm 1776, nhà toán học Pháp Jean Henri Lambert (1728- 1777) đã chứng minh rằng Pi là một số vô tỉ. Nghĩa là Pi- bằng lý thuyết sẽ gồm một chuỗi số lẻ thập phân vô hạn và không tuần hoàn.

Mặc dù vậy, người ta vẫn muốn nhìn tận mắt thấy dãy số lẻ đó như thế nào. Năm 1874, nhà toán học Anh William Shanks đã tính được Pi với 707 số lẻ. Đó là một kỷ lục thời đó, đến nay vẫn chưa ai phá nổi với cách tính bằng tay, không nhờ sự trợ giúp nào của máy tính. Và 707 số lẻ này, người ta không thấy một sự tuần hoàn nào và các con số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào. Con số Pi với dãy sỗ lẻ đó đã được trưng bày thành bốn vòng số ở lâu đài Phát minh ở Pari (Pháp). Còn ngày nay, máy tính đã cho phép tính tới 51 tỷ số lẻ của Pi.

Như vậy, ta sẽ không thể tìm một trị số chính xác cho diện tích vòng tròn là pR2, từ đó không thể tính được cạnh hình vuông có diện tích bằng đúng diện tích hình tròn đã cho.

Nhưng với một thủ thuật khéo léo (bằng thước và compa), liệu có thể làm được điều đó không?

Năm 1882, nhà toán học Ferdinand Lindemann (1852- 1919) đã chứng minh con số Pi cũng như số e (= 2, 718281828459045…) là một số siêu việt, tức là số không thể là nghiệm của một phương trình đại số với hệ số nguyên nào cả. Và điều đó, về mặt tiêu chuẩn toán học, sẽ không thể nào dựng được một đoạn thẳng chứa số Pi.

Nguyễn Phúc Giác Hải